一、凹函數是什么？

凹函數是一個定義在某個向量空間的凹子集C（區間）上的實值函數f

設f為定義在區間Ｉ上的函數，若對Ｉ上的任意兩點Ｘ１，Ｘ２和任意的實數λ∈（０，１），總有

f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則f稱為Ｉ上的凹函數.

判定方法可利用定義法、已知結論法以及函數的二階導數

一般的判別方法是求它的二階導數，如果在區間上恒大于0，就成為凹函數。

二、類比函數凹凸性與極值

函數的凹凸性 定義：

設函數f(x)在區間I上定義，若對I中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有

f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f(x)是I上的凹函數。

若不等號嚴格成立，即<號成立，則稱f(x)在I上是嚴格凹函數。

如果<=換成>=就是凸函數。類似也有嚴格凸函數。

這個定義從幾何上看就是：

在函數f(x)的圖象上取任意兩點，如果函數圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方，那么這個函數就是凹函數。

直觀上看，凸函數就是圖象向上突出來的。比如y=-x^2,y=lnx.

如果函數f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在區間I上是凹函數的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區間I上是凸函數的充要條件是f''(x)<=0;

不過補充一下，中國數學界關于函數凹凸性定義和國外很多定義是反的。Convex Function在國內的數學書中指凹函數。Concave Function指凸函數。在國內涉及經濟學的很多書中，凹凸性的提法和國外的提法是一致的，也就是和單純的數學教材是反的。很頭大的問題。

另外，國內各不同學科教材、輔導書的關于凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法準確說明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，為“凸向原點”，或“下凸”（也可說上凹），（有的簡稱凸有的簡稱凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，為“凹向原點”，或“上凸”（下凹），（同樣有的簡稱凹有的簡稱凸）

凸/凹向原點這種說法一目了然。上下凸的說法也沒有歧義

三、凸和凹字各有幾畫，筆順是怎樣寫

“凸”和“凹”都是5畫，“凸”的筆順為豎、橫、豎 、橫折折折、橫，如下圖所示：

拼 音 【tū】

〈形〉

1.高出 。高于周圍的,如球形或圓形的外部或其一部分那樣彎曲的——指從外面觀看一個球面或曲線。

如:凸兀(高出);凸凸(高出貌);凸凸囊囊(猶鼓鼓囊囊);凸凹(高低不平);凸杯(滿杯);凸岸;凸鏡;凸透鏡

2.[指月亮或行星]可見的光亮部分大于半圓而不是全部的 。

如:凸月

〈動〉

1.使突出于周圍表面或范圍之外 。

如:凸出來;挺胸凸肚;凸起(突出;高起);凸露(高出于外);凸顯(凸出顯露);凸出(高出;高起)

2.伸出;突出 。

如:有些地方的墻壁凸成了厚實的扶壁了

“凹”的筆順為豎、橫折折/橫折彎、豎、橫折、橫，如下圖所示：

拼 音 【āo】

〈形〉

1.周圍高,中間低

其湖無凹凸,平湖無高下。——《神異經·北方荒經》

又如:凹岸;凹面;凹洼(凹陷);凹地;凹處